MECÂNICA GENRALIZADA GRACELI - QUÂNTICA QUÍMICA RELATIVISTA DIMENSIONAL TENSORIAL [442]

Em um sistema quântico constituído de muitas partículas idênticas com spin inteiro, a estatística de Bose-Einstein, ou estatística BE, é utilizada para descrever o sistema e calcular os valores médios das grandezas físicas.

Em um sistema de $�$ bósons idênticos de massa $�$ , que possuem interação mútua desprezível, contidos em um recipiente de volume $�$ , a uma temperatura $�$ , em equilíbrio, o número médio de partículas ${\bar {n}}_{s}$ num estado de energia $�$ é dado por

${\bar {n}}_{s}={\frac {g_{s}}{e^{\beta (\epsilon _{s}-\mu )}-1}}$ ,

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

em que $g_{s}$ é a degenerescência quântica do estado $�$ , $\epsilon _{s}$ é a energia do estado $�$ , $\mu$ é o potencial químico, e $\beta =1/k_{B}T$ , em que $k_{B}$ é a constante de Boltzmann^[1].

Gás de fótons[editar | editar código-fonte]

Um caso especial da estatística de Bose-Einstein é o gás de fótons. Fótons possuem spin inteiro igual a 1, então desta forma são considerados bósons. O caso é especial devido ao fato de que se considerarmos vários fótons dentro de um recipiente com volume V, o número destes fótons não será constante, pois conforme estes fótons interagem com as paredes do recipiente estes são absorvidos ou emitidos. Desta forma, não podemos impor um vínculo ao número total de fótons no sistema. Neste caso, precisaremos realizar as somas sobre todos os possíveis números de partículas em cada estado, da forma^[6]:

$n_{r}=0,1,2,3,...$ para todo r.

A função partição para o gás de fótons é dada por:

$Z=\sum _{R}e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+...)}$ /

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

No qual R são todos os estados possíveis do gás. Como não há vínculos agora para o número de partículas por estado, podemos utilizar as propriedades das funções exponenciais e reescrever a soma acima como:

$Z=\sum _{n_{1},n_{2},...}e^{-\beta n_{1}\varepsilon _{1}}e^{-\beta n_{2}\varepsilon _{2}}...$ /

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Ou ainda:

$Z=\left(\sum _{n_{1}=0}^{\infty }e^{-\beta n_{1}\varepsilon _{1}}\right)\left(\sum _{n_{2}=0}^{^{\infty }}e^{-\beta n_{2}\varepsilon _{2}}\right)...$ /

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Como não há restrição para o número de fótons, as somas acima são consideradas até um número muito grande de partículas por estado de energia, no qual matematicamente isto se traduz a realizarmos a soma até o infinito, embora fisicamente, estejamos carregando a soma até um número muito grande de partículas. Como estamos tratando de uma exponencial com argumento negativo, após um certo valor os termos serão desprezíveis, não tendo problemas com divergências. Se olharmos com cuidado para as somas dentro dos colchetes acima, percebe-se que podemos escrevê-las como abaixo:

$\sum _{n_{1}=0}^{\infty }e^{-\beta n_{1}\varepsilon _{1}}=1+e^{-\beta \varepsilon _{1}}+e^{-2\beta \varepsilon _{1}}+...=\left({\frac {1}{1-e^{-\beta \varepsilon _{1}}}}\right)$ /

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Ou seja, cada termo é uma soma geométrica. Assim, podemos reescrever a função partição da seguinte forma:

$Z=\left({\frac {1}{1-e^{-\beta \varepsilon _{1}}}}\right)\left({\frac {1}{1-e^{-\beta \varepsilon _{2}}}}\right)...$

E o logaritmo natural da função partição, que é o qual estamos interessados é dado por:

$\ln {Z}=-\sum _{r}\ln {(1-e^{-\beta \varepsilon _{r}})}$ /

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Nosso próximo objetivo agora é encontrar o número médio de partículas em um estado de energia $\varepsilon _{s}$ . Tal resultado pode ser obtido através da expressão abaixo^[6]:

${\bar {n_{s}}}=-{\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial \ln {Z}}{\partial \varepsilon _{s}}}$ /

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Realizando a derivação do logaritmo natural da função partição, temos o resultado abaixo:

${\bar {n_{s}}}={\frac {e^{-\beta \varepsilon _{s}}}{1-e^{-\beta \varepsilon _{s}}}}$ /

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

O resultado acima é este pois a única derivada que não é zero é o termo da soma no qual $r=s$ . Podemos simplificar o resultado acima, multiplicando e dividindo a expressão acima pela exponencial com o mesmo argumento, porém positivo, e assim obtemos o importante resultado dado por:

${\bar {n_{s}}}={\frac {1}{e^{\beta \varepsilon _{s}-1}}}$ /

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Este resultado é conhecido como a distribuição de Planck, e fornece o número médio de fótons em um determinado estado s. Uma das aplicações mais famosas do resultado acima é no problema da radiação de corpo negro.

Radiação de corpo negro[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Radiação de corpo negro

Radiância espectral em função da frequência

Todo corpo a uma temperatura $�$ emite radiação eletromagnética. A distribuição de Planck fornece o espectro de emissão para uma classe especifica de corpos, os chamados corpos negros, definidos como os corpos que absorvem toda a radiação incidente. Pode-se modelar um corpo negro como uma cavidade metálica com volume $�$ , tal que haja apenas um pequeno orifício em uma de suas paredes. Logo, esta cavidade absorve toda a radiação que entra por ali, e radiação emitida pelo orifício que é oriunda das emissões a partir das superfícies internas da cavidade se comporta como se fosse um corpo negro.^[7]

Busca-se a chamada radiância espectral $R_{T}(f)df$ , que fornece a potência irradiada por unidade de área com frequência entre $�$ e $f+df$ pelo corpo estudado a uma data temperatura. Através de uma análise física do problema, pode-se mostrar que a radiância espectral está diretamente ligada com a densidade de energia dentro da cavidade. A relação entre as duas grandezas é dada por:

$R_{T}(f)={\frac {c}{4}}u_{T}(f)$ /

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Pode-se então obter a densidade de energia, e assim resolve-se o problema da mesma maneira. A densidade de energia pode ser obtida a partir da probabilidade de um nível com energia $\varepsilon _{s}$ estar ocupado por $n_{s}$ fótons, sendo assim se multiplicarmos este valor pelo número de médio fótons por unidade de volume naquele estado, teremos a densidade de energia dentro desta cavidade na forma:^[8]

$u_{T}(\varepsilon )={g(\varepsilon ){\bar {\varepsilon _{s}}}}$ /

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Onde $g(\varepsilon )$ é a densidade de estados ou degenerescência. Como temos o número médio de fótons em um estado $�$ , basta multiplicar este número pela energia do estado $�$ , assim:

${\bar {\varepsilon _{s}}}={\frac {\varepsilon _{s}}{e^{\beta \varepsilon _{s}}-1}}$ /

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Como os estados do sistema estão muito próximos um dos outros, por conta da cavidade ocupar um volume V macroscópico, podemos tratar as variáveis como sendo contínuas. O número de estados por unidade de volume dentro da cavidade com frequência entre $�$ e $f+df$ é dada por:^[9]

$g(f)df={\frac {8\pi }{c^{3}}}f^{2}df$ /

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Sabemos que a energia e a frequência de um fóton estão ligado pela expressão de Planck $E=hf$ , desta forma se fizermos a substituição sugerida, obtemos assim a expressão para a densidade de energia dentro de uma cavidade.

$u_{T}(f)={\frac {8\pi h}{c^{3}}}{\frac {f^{3}}{e^{\frac {hf}{kT}}-1}}$ /

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

E a radiância espectral é dada diretamente por:

$R_{T}(f)={\frac {2\pi h}{c^{2}}}{\frac {f^{3}}{e^{\frac {hf}{kT}}-1}}$ /

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Todo o caminho feito para o obtenção do resultado foi a partir da análise das propriedades quânticas e estatísticas de fótons dentro de um volume V, e em equilíbrio térmico a uma temperatura T. Pode-se chegar no mesmo resultado analisando a interação da radiação eletromagnética dentro do volume V com as paredes do recipiente^[10].

Em mecânica estatística, a estatística Maxwell–Boltzmann descreve a distribuição estatística de partículas materiais em vários estados de energia em equilíbrio térmico, quando a temperatura é alta o suficiente e a densidade é baixa suficiente para tornar os efeitos quânticos negligenciáveis. A estatística Maxwell–Boltzmann é consequentemente aplicável a quase qualquer fenômeno terrestre para os quais a temperatura está acima de poucas dezenas de kelvins.^[1]^[2]

O número esperado de partículas com energia $\epsilon _{i}$ para a estatística de Maxwell–Boltzmann é $N_{i}$ onde:

{\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}}}={\frac {g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}}{Z}}

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

onde:

$N_{i}$ é o número de partículas no estado i
$\epsilon _{i}$ é a energia do estado i-ésimo
$g_{i}$ é a degenerescência do nível de energia i, o número de estados dos partículas (excluindo o estado de "partícula livre") com energia $\epsilon _{i}$
$\mu$ é o potencial químico
$�$ é a constante de Boltzmann
$�$ é a temperatura absoluta
$�$ é o número total de partículas

N=\sum _{i}N_{i}\,

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

$�$ é a função partição

Z=\sum _{i}g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

$e^{(...)}$ é a função exponencial, sendo e o número de Euler

A distribuição de Maxwell-Boltzmann tem sido aplicada especialmente à teoria cinética dos gases, e outros sistemas físicos, além de em econofísica para predizer a distribuição da renda. Na realidade a distribuição de Maxwell-Boltzmann é aplicável a qualquer sistema formado por N "partículas" ou "indivíduos" que interacambiam estacionariamente entre si uma certa magnitude $�$ e cada um deles têm uma quantidade $m_{i}$ da magnitude $�$ e ao longo do tempo ocorre que $\sum _{i=1}^{N}M=m_{1}+m_{2}+...+m_{N}$ .

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Limites de aplicação[editar | editar código-fonte]

Para um sistema de partículas quânticas, a hipótese de que $N_{i}$ seja substancialmente menor que $g_{i}$ para os estados diferentes do fundamental em geral não se cumprirá e é necessário recorrer-se à estatística de Bose-Einstein se as partículas são bosônicas ou à estatística de Fermi-Dirac se as partículas são fermiônicas.

As estatísticas de Bose–Einstein e Fermi–Dirac podem ser expressas como:

N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}\pm 1}}

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

Assumindo que o valor mínimo de $\epsilon _{i}$ é bastante pequeno, se pode verificar que a condição na qual a distribuição de Maxwell-Boltzmann é válida é quando se cumpre que:

e^{-\mu /kT}\gg 1

Para um gás ideal, podemos calcular os potenciais químicos utilizando o desenvolvimento da equação de Sackur–Tetrode para demonstrar que:

\mu =\left({\frac {\partial E}{\partial N}}\right)_{S,V}=-kT\ln \left({\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\right)

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

onde $�$ é a energia interna total, $�$ é a entropia, $�$ é o volume, e $\Lambda$ é o comprimento de onda térmico de de Broglie. A condição de aplicação para a distribuição Maxwell-Boltzmann em um gás ideal resulta:

{\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\gg 1.

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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